数学思维

倍数特性

整除型

基础知识

$Z$是整数集，如果 $a=b\ast c(b,c\in Z)$，那么，$A$ 能被 $B$ 整除， $A$ 能被 $C$ 整除。

应用环境

$y＝ax$，$y$ 能被 $a$ 整除；

$y=ax，，y\pm b$ 能被$a$整除。

整除判定

口诀法

2 和 5：最右一位可以被 2、5 整除 4 和 25：最右两位可以被 4、25 整除 8 和 125：最右三位可以被 8、125 整除 3 和 9：各个位的数字和能被 3、9 整除

拆分法

以 7 为例，将待判定数字拆分出能被 7 整除的部分，然后看剩余的部分是否能被 7 整除。 如果剩余的部分可以被 7 整除，待判定数字就可以被 7 整除，反之则不能。

例：152÷7，152 拆成 140＋12，因为 12 不能被 7 整除，则 152 不能被 7 整除。

因式分解法

判定能否被 12、14 等较大的数整除时，可将其分解成互质的两个数。

(互质：两个数除了 1 之外没有其他公约数）

比例型

基础知识

若 $\frac{x}{y}=\frac{m}{n}$ 且 $\frac{m}{n}$ 是最简分数$(m,n)$互质，则 $x$ 是 $m$ 的倍数；$y$ 是 $n$ 的倍数；$x\pm y$ 是 $m\pm n$ 的倍数

若$\frac{x\pm a}{y\pm b}=\frac{m}{n}$，则 $x\pm a$ 是 $m$ 的倍数；$y\pm b$ 是 $n$ 的倍数

方程思维

基础知识

设未知量的技巧

设小不设大，设中间量，设份数，求谁设谁。

列方程的技巧

1. 看关键词：相等、共、是、比等。

2. 关系变化关系结构：原始关系加上变化等于新的关系。

3. 总分结构：总量等于各个分量之和。

4. 多过程结构：如果、如、每、若等。

解方程技巧

1. 解常规方程：消元求解。

2. 解不定方程 ax+by=m 的技巧：

• 奇偶特性：当未知数的系数为一奇一偶时，考虑奇偶特性（若 m 较大时，优先考虑整除特性）；

• 整除特性：当 a 或 b 与 m 有公因子时，考虑整除特性；

• 尾数法：当 a 或 b 是 5 的倍数时，考虑尾数法；

• 代入排除法：以上均无法解题时，考虑代入排除。